绝对值的性质-2025考研管综678题库

第一章 算术---第二节 比例题型11 绝对值的性质---43

什么是绝对值？

绝对值，简单来说，就是一个数不考虑正负的量，它描述了数在实数轴上的几何意义和代数特性。对于任意实数a，其绝对值|a|定义为：

当a ≥ 0时，|a| = a

当a < 0时，|a| = -a

举个例子，|-5| = 5，|5| = 5，即-5的绝对值是5，5的绝对值也是5。绝对值表示一个实数在数轴上对应的点到原点的距离。

绝对值的性质

非负性：不论a是正数、负数还是零，其绝对值总是非负的，即|a| ≥ 0。

对称性：互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a| = |a|。这个性质在解决含有未知数的绝对值问题时非常有用，可以简化计算。

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三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。这个不等式在解决一些数学问题时非常有用，尤其是处理不等式问题时。

乘积性质：对于任意实数a和b，有|ab| = |a||b|。即两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝对值的乘积。

商的性质：对于任意实数a和b（b≠0），有|a/b| = |a|/|b|。即两个数的商的绝对值等于这两个数的绝对值的商。

如何解决绝对值问题？

解决绝对值问题的关键在于“去绝对值”。如果根据已知条件能确定绝对值内表达式的符号，则可以直接去掉绝对值符号后求解。如果无法确定，则需要通过界点（零点）进行分段讨论，逐一去掉绝对值符号后再求解。

真题示例

例1：若实数a、b满足|a−3|+3b+5+(5c−4)^2=0，求abc的值。

解析：根据绝对值、偶次根号、偶次方都具有非负性，相加之和为零的性质，则其值分别为零。由此可得a−3=0，a=3；3b+5=0，b=−5/3；5c−4=0，c=4/5。则abc=3×(−5/3)×(4/5)=−4。

例2：已知|x−2|=|2x−7|−|x−5|，求x的取值范围。

解析：将原式移项可得，|x−2|+|x−5|=|2x−7|。根据三角不等式，结合x−2+x−5=2x−7，可解得x≥5或x≤2。

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